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为什么通常不考虑剪力引起的梁在轴线方向的变形?

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发表于 2016-6-11 23:48:33 | 显示全部楼层 |阅读模式
按剪应力互等定理,微元的竖直和水平方向都有剪应力,而且剪应力变形是斜向的菱形变形。为何计算剪力引起的变形的时候,通常只考虑竖直方向的变形,而不考虑水平方向的变形呢?
     按剪应力互等定理,微元的竖直和水平方向都有剪应力,而且剪应力变形是斜向的菱形变形。为何计算剪力引起的变形的时候,通常只考虑竖直方向的变形,而不考虑水平方向的变形呢?
    什么是答案总结? 答案总结

   
  
        我觉得这是个特别好的问题,我刚看到这个问题一下子就懵住了,想不出所以然来。

我先问你个问题:你觉得你学的力学是绝对真理吗?

如果你觉得是,那我再给你一次机会。如果你觉得不是,那你觉得力学是什么?是不是只是一个模型而已?

我们拿这个模型计算一下,预估一个理论的结果;我们再在实验室里做大量的实验,或者量测大量的真实工程数据。如果模型给出的理论解和实验给出的测量值差不多,我们就认为这个模型是有效的。

简单说,我们通常讨论的这些材料力学中关于剪力的部分,其实不是真理,而是「欧拉-伯努利关于梁的理论 (Euler–Bernoulli beam theory)」或者「铁木辛柯关于梁的理论」。虽然它们不是真理,但是它们在通常情况下的结果能满足一般工程的要求。

既然不是真理,只是一个假想模型,那它必然就有简化、近似的部分。即使是最简单的梁受力分析,截面的变形其实也经过了很多简化:

(图片来源:Linear and Nonlinear Structural Mechanics, Ali H. Nayfeh, P. Frank Pai)

你在材料力学课上考虑过这些变形吗?为什么不考虑呢?你考虑过扭矩引起的梁轴线方向的变形吗?你考虑过轴力和泊松比造成的梁截面扩展或者收缩吗?同样,你考虑过剪力造成的轴线方向的变形吗?

原因很简单,因为通常情况下,它们的影响很小,基本可以忽略不计。在通常的工程应用范围内,忽略这些变形不会造成任何明显的区别。

(图片来源:Mechanics of Materials, Seventh Edition, James M. Gere and Barry J. Goodno)(图片来源:Mechanics of Materials, Seventh Edition, James M. Gere and Barry J. Goodno)

这张示意图更加明显,剪力的确会改变轴线方向的应变和变形。但是同时,书里说的也很明白,详细的分析表明,剪力引起的轴线方向的应变,几乎不会对梁的轴向应变产生影响,完全可以忽略不计。

当然,如果您就是想要考虑这种影响,那也完全可以。虽然对于一般的工程应用来说,这个影响完全可以忽略,但是对于一些特殊的工程应用,比如非常细长的梁、FRP 这种非各向同性的材料等,这个问题还是有可能需要考虑的。

如果您感兴趣,完全可以去读这方面的论文,比如下面我列的这些:

  • P.Frank Pai, Mark J. Schulz, Shear correction factors and an energy-consistent beam theory, International Journal of Solids and Structures, Volume 36, Issue 10, 1 April 1999, Pages 1523-1540, ISSN 0020-7683, http://dx.doi.org/10.1016/S0020-7683(98)00050-X.
  • Jeppe J?nsson, Determination of shear stresses, warping functions and section properties of thin-walled beams using finite elements, Computers & Structures, Volume 68, Issue 4, August 1998, Pages 393-410, ISSN 0045-7949, http://dx.doi.org/10.1016/S0045-7949(98)00070-4.
  • M.A. Benatta, I. Mechab, A. Tounsi, E.A. Adda Bedia, Static analysis of functionally graded short beams including warping and shear deformation effects, Computational Materials Science, Volume 44, Issue 2, December 2008, Pages 765-773, ISSN 0927-0256, http://dx.doi.org/10.1016/j.commatsci.2008.05.020.
不管你们怎么样,反正我是一篇都没读懂…………  
         我们常用的只考虑弯曲变形而不考虑剪切变形的梁模型是欧拉-伯努利梁模型。
而考虑剪切变形的是铁木辛柯梁模型,该模型是20世纪早期由美籍俄裔科学家与工程师斯蒂芬·铁木辛柯提出并发展的力学模型。该模型考虑了剪应力和转动惯性,更适于描述短梁、层合梁以及波长接近厚度的高频激励时梁的表现。
如果梁材料的剪切模量接近无穷,即此时梁为剪切刚体,并且忽略转动惯性,则铁木辛柯梁即趋同于欧拉-伯努利梁。                               图1 铁木辛柯梁(蓝)的变形与欧拉-伯努利梁(红)的对比                                              图2 铁木辛柯梁的变形
可见,考虑剪切变形后,不等于

在有限元软件ABAQUS中常用梁单元B23模拟欧拉-伯努力梁,B21模拟铁木辛柯梁,下面是两种梁单元的验证算例,之后会分析梁的高跨比对剪切挠度的影响,以说明两种梁单元的适用范围。

1.B21单元与B23单元的验证
如图3所示的悬臂梁,分别按照两种梁理论计算其自由端挠度。
图3 某固端悬臂梁
根据欧拉梁理论:
弯曲应变:
再由卡氏定理:
带入相关数据可得:

在ABAQUS选用B23单元,其计算结果如图4所示,可见两者的计算结果是一致的。
图4  ABAQUS中B23单元计算结果
根据铁木辛柯梁理论计算:
剪切应变能为:

若取微段dx:

为求总应变能,对全长积分:
(注:A=BD,F=Q)
所以总的挠度为:
带入相关数据可得:

在ABAQUS选用B21单元,其计算结果如图5所示,可见两者的计算结果是非常接近的。
图5 ABAQUS中B21单元计算结果
2.高跨比对梁整体挠度的影响
为了分析高跨比对梁整体挠度的影响,取剪切挠度与弯曲挠度的比值,并作出如图6所示的关系图:


从图中可以看出,对于一般的细长梁(高跨比<1/10),剪切挠度相对于弯曲挠度是非常微小的,以致可以忽略不计其对总挠度的影响;但对于高跨比较大的深梁则必须考虑剪切挠度,当高跨比超过一个的范围后则无法再将其视为梁来计算。
图6 高跨比剪弯挠度之比关系曲线



模拟的时候选择适当的单元还是很重要的,sap2000中会默认采用欧拉梁单元,abaqus中选择欧拉梁和铁木辛柯梁会造成一定的差别,尤其是当单元划分段数较少时(做过的算例显式,小型结构模态会相差5%左右)。通常情况下,欧拉梁的计算效率更高,且受单元划分的影响较小,故建议优先采用。


参考:
维基百科:铁木辛柯梁单元
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%93%81%E6%9C%A8%E8%BE%9B%E6%9F%AF%E6%A2%81%E7%90%86%E8%AE%BA
Yusd的博客:
http://blog.163.com/zpfzcjndx@126/blog/static/6354568120124236393130/
这个博客的作者是力学大牛,建议大家去博客里看看他做的有限质点法模拟,非常惊艳!  
         既然把问题完全改了,为何不提一个新问题呢?

------------------原答案------------------

梁体中水平方向是有剪力的,钢混组合结构中的剪力键就是用来承受水平方向的剪力。
然而梁的竖向截面并没有水平剪力,剪力是与截面平行的力。同理水平截面也没有竖向剪力。  
         楼主已改题目,之前的问题是梁受剪,有水平方向剪力吗?答案当然是有啊。我就不去推导了,送上楼主一副小图。

模型是一根简支梁,受压力P在中央。剪力弯矩图如图左部所示。因为弯矩梁上压下拉。

为了探索是否梁水平方向也是否有剪力,我们把梁沿中间切开(右上图)。梁左边支座弯矩M=0,没有弯矩导致的压/拉力,右边有个弯矩M,截面受拉压力。

为了进一步探索,我们继续把这半边梁从中间劈成上下两半,你看中间那个截开的水平截面,他就是水平简力的主场,因为力要平衡啊。左边支座部门没有C/T与右边截面的C/T平衡,那么谁平衡了C/T牛魔王呢?答案见蓝色小人。  
         跨高比小于2连续梁小于2.5的时候要考虑横向剪切变形这样的梁叫深梁deep beam,
参照铁木辛柯梁,刚刚说错了,相对欧拉梁少了一个假设条件,就是变形后的梁截面与中性轴垂直假设,所以考虑剪切作用有夹角增加了剪切变形。  
         (浅梁)欧拉-拉格朗日梁不用考虑剪切力变形,深梁(铁木辛柯梁)必须考虑剪切力对变形的影响。材料力学中的梁都是欧拉-拉格朗日梁。

具体分析详见 @猪小宝的答案。  
         是因为截面问题吧? 竖直切开的截面就只有竖直方向的剪力。 如果截面按照水平方向切开,是不是就有水平方向的剪应力了。   
         因为在横向变形对结构产生破坏之前,竖向变形就已经让建筑倒塌了  
         借用我木工出身的师傅说的话:“想那么多干什么,那点儿影响还不如工人多用振动棒捣几下来的大。”觉得虽然有失偏颇可也不无道理。现场施工有时候真的不想那么多,工地上没那么多强迫症一般的严谨。  
         我记得是在伯努利-欧拉梁当中,剪力造成的影响的数量级通常在1%左右,所以可以忽略。但是铁木辛柯梁就不能忽略了。  
         因为材料力学也好建筑力学也好,理论知识只是建模的过程,无法百分之百的真实情况,就跟很多情况摩擦忽略不计是一个道理,  
         水平方向也有 没画  
         圣维南原理.剪应力互等是微元上的模型.梁是宏观的
宏观水平方向上其实也是考虑的,剪力滞后,剪力卡榫,急刹车等等都是关于这个的
说得不对还请指点
  
         建议可以做一下有限元分析(anasys),可以比较清楚的看到在外应力(剪力)的作用下,轴向应力和应变。  
         剪力相对于其他力是非常小的  
         结力书和材力书上都有。楼主也可以去看看朱慈勉的视频,龙馭球或朱慈勉的结力书上有一节专门解释了为什么剪力可以忽略,从虚功原理开始,分成三个方向依次积分局部变形。楼上大神们都给出详细解释,我就不献丑了。大约算出来的结果好像是剪力变形:弯矩变形=C(l/h)?,一般梁的l/h>10,两者差距就出来了,某个意义上算是高阶无穷小了。  
         看尺寸和位置的影响啊,梁其实在两端是要考虑剪力的,以鱼腹梁为例,它的两端做成矩形截面就是考虑了剪力。一般说的不考虑是指截面尺寸远小于长度,剪力影响相对于弯矩的影响很小,因此忽略了。而如果尺寸改变了,剪力影响大了,弯矩影响小了,就可能要考虑的。  
         六个答案都是从剪力的来源角度去分析 我想试着从横向变形提出点自己的认识 那就是


你以为伸缩缝是用来干嘛的啊(ノ=Д=)ノ┻━┻


(如有文不对题 请折叠我吧)  
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